Der Übergang von der Sekante zur Tangente – Begriff der Ableitung und lokale Änderungsraten.
Erklärung
1. Vom Mittleren zum Lokalen Änderungsverhalten
Die Differentialrechnung untersucht, wie stark sich ein Funktionswert in einem einzelnen Punkt ändert (lokale Änderungsrate bzw. Momentangeschwindigkeit).
Differenzenquotient (Sekante)
Mittlere Änderung
Steigung einer Sekante durch zwei Punkte \( P \) und \( Q \).
Differentialquotient (Tangente)
Lokale Änderung (\( f'(x_0) \))
Steigung der Tangente im einzelnen Berührpunkt \( P \).
2. Mathematische Definition der Ableitung
Lässt man den Abstand \( h \) zwischen zwei Punkten gegen Null laufen (\( h \to 0 \)), wird aus der Sekante eine Tangente:
\( f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \)
Bedeutung der 1. Ableitung \( f'(x) \):
- Gibt die Momentansteigung des Graphen an der Stelle \( x \) an.
- \( f'(x) > 0 \): Der Graph steigt lokal an.
- \( f'(x) < 0 \): Der Graph fällt lokal ab.
- \( f'(x) = 0 \): Waagerechte Tangente (mögliches Extremum oder Sattelpunkt).
3. Grundlegende Ableitungsregeln
Um Ableitungen effizient zu berechnen, nutzt man feste Rechenregeln anstelle des Grenzwerts:
Potenzregel
\( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \)
Beispiel: \( (x^3)' = 3x^2 \)
Faktorregel
\( (c \cdot f)' = c \cdot f' \)
Beispiel: \( (5x^2)' = 5 \cdot 2x = 10x \)
Summenregel
\( (f \pm g)' = f' \pm g' \)
Beispiel: \( (x^2 + 3x)' = 2x + 3 \)
4. Beispiel: Tangentengleichung aufstellen
Die Gleichung einer Tangente an der Stelle \( x_0 \) hat die Form einer linearen Funktion \( t(x) = m \cdot x + b \).
Musterbeispiel: Gesucht ist die Tangente an \( f(x) = x^2 - 3x \) an der Stelle \( x_0 = 2 \).
- Y-Wert des Berührpunkts berechnen:
\( f(2) = 2^2 - 3(2) = 4 - 6 = -2 \implies P(2 \mid -2) \) - Ableitung bilden & Steigung \( m \) berechnen:
\( f'(x) = 2x - 3 \)
\( m = f'(2) = 2(2) - 3 = 1 \) - Achsenabschnitt \( b \) berechnen:
\( y = m \cdot x + b \implies -2 = 1 \cdot 2 + b \quad \mid -2 \)
\( b = -4 \) - Tangentengleichung:
\( t(x) = x - 4 \)