Vom Rekonstruieren von Beständen zur Stammfunktion und dem Hauptsatz.
Erklärung
1. Was ist die Integralrechnung?
Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung. Während die Ableitung die Steigung (Änderungsrate) misst, berechnet das Integral die Gesamtveränderung bzw. die Fläche unter einem Funktionsgraphen.
Rechtecksummen (Approximation)
Annäherung der Fläche durch Streifen (Ober- und Untersummen).
Bestimmtes Integral (Fläche)
Exakter Flächeninhalt zwischen Graph und \( x \)-Achse im Intervall \( [a, b] \).
2. Stammfunktion & Unbestimmtes Integral
Eine Funktion \( F(x) \) heißt Stammfunktion von \( f(x) \), wenn ihre Ableitung genau \( f(x) \) ergibt: \( F'(x) = f(x) \).
\( \int f(x) \, dx = F(x) + C \)
Wichtige Grundregeln für Stammfunktionen:
- Potenzregel: \( \int x^n \, dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C \quad (n \neq -1) \)
- Faktorregel: \( \int k \cdot f(x) \, dx = k \cdot \int f(x) \, dx \)
- Summenregel: \( \int (f(x) \pm g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx \pm \int g(x) \, dx \)
- e-Funktion: \( \int e^{k \cdot x} \, dx = \frac{1}{k} e^{k \cdot x} + C \)
3. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Um die exakte Fläche unter dem Graphen von \( f(x) \) zwischen den Grenzen \( a \) und \( b \) zu berechnen, berechnet man die Differenz der Stammfunktionswerte an den Intervallgrenzen:
\( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \)
4. Musterbeispiele: Integrale berechnen
Beispiel 1: Bestimmtes Integral auswerten
Berechne das Integral \( \int_{1}^{3} (3x^2 - 2x) \, dx \).
- Stammfunktion bilden:
\( F(x) = x^3 - x^2 \) - Grenzen einsetzen \( [F(x)]_1^3 \):
Obere Grenze \( F(3) = 3^3 - 3^2 = 27 - 9 = 18 \)
Untere Grenze \( F(1) = 1^3 - 1^2 = 1 - 1 = 0 \) - Differenz bilden \( F(3) - F(1) \):
\( 18 - 0 = \mathbf{18} \)
Beispiel 2: Flächeninhalt berechnen (Nullstellen beachten!)
Integrale berücksichtigen Vorzeichen (Flächen unter der \( x \)-Achse sind negativ). Für den reellen Flächeninhalt müssen Nullstellen als Intervallgrenzen genutzt werden!
- Nullstellen von \( f(x) \) im Intervall bestimmen.
- Integrale für Teilintervalle getrennt berechnen.
- Beträge der Teilintegrale aufsummieren: \( A = |I_1| + |I_2| \).