Behandlung quadratischer Zusammenhänge, Umformungen und Lösungsverfahren.
Erklärung
1. Die Darstellungsformen quadratischer Funktionen
Eine quadratische Funktion lässt sich auf verschiedene Arten angeben, die jeweils unterschiedliche Eigenschaften direkt verraten:
A. Normalform
\( f(x) = ax^2 + bx + c \)
\( c \) gibt den Schnittpunkt mit der \( y \)-Achse an: \( S_y(0 \mid c) \).
\( a > 0 \) (Positiv)
Nach oben geöffnet
(Lächelnder Mund)
\( a < 0 \) (Negativ)
Nach unten geöffnet
(Trauriger Mund)
Formfaktor \( |a| \)
Blau: \( |a| > 1 \) (gestreckt/schmal)
Grün: \( |a| < 1 \) (gestaucht/breit)
B. Scheitelpunktform
\( f(x) = a(x - d)^2 + e \)
Der Scheitelpunkt \( S \) lässt sich direkt ablesen: \( S(d \mid e) \). (Achtung beim Vorzeichen von \( d \)!)
2. Umwandlung: Normalform in Scheitelpunktform (Quadratische Ergänzung)
Um aus der Normalform den Scheitelpunkt \( S(d \mid e) \) zu berechnen, nutzt man die quadratische Ergänzung.
Musterbeispiel: Gegeben ist \( f(x) = x^2 - 6x + 5 \).
- Quadratische Ergänzung anwenden: (Hälfte der Zahl vor \( x \) quadrieren: \( (\frac{6}{2})^2 = 9 \))
\( f(x) = x^2 - 6x + 9 - 9 + 5 \) - Binomische Formel zusammenfassen:
\( f(x) = (x - 3)^2 - 4 \) - Scheitelpunkt ablesen:
\( S(3 \mid -4) \)
3. Berechnen der Nullstellen (\( f(x) = 0 \))
An den Nullstellen schneidet der Graph die \( x \)-Achse. Dafür wird die Funktion gleich Null gesetzt.
Methode A: Die pq-Formel
Voraussetzung: Die Gleichung muss in der Form \( x^2 + px + q = 0 \) vorliegen (Koeffizient vor \( x^2 \) ist 1).
\( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} \)
Musterbeispiel: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \implies p = -6, \; q = 5 \)
- Werte in die Formel einsetzen:
\( x_{1,2} = -\left(-\frac{6}{2}\right) \pm \sqrt{\left(-\frac{6}{2}\right)^2 - 5} \)
\( x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm \sqrt{4} \) - Lösungen berechnen:
\( x_1 = 3 + 2 = 5 \)
\( x_2 = 3 - 2 = 1 \) - Ergebnis: Die Nullstellen liegen bei \( N_1(5 \mid 0) \) und \( N_2(1 \mid 0) \).
Methode B: Die Mitternachtsformel / abc-Formel
Wird direkt bei der allgemeinen Form \( ax^2 + bx + c = 0 \) angewendet:
\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
4. Anzahl der Lösungen (Die Diskriminante \( D \))
Der Ausdruck unter der Wurzel (\( D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q \) bzw. \( D = b^2 - 4ac \)) heißt Diskriminante.
\( D > 0 \)
2 Nullstellen
Gerade wird zweimal geschnitten.
\( D = 0 \)
1 Nullstelle
Scheitelpunkt berührt die Achse.
\( D < 0 \)
0 Nullstellen
Keine Berührung mit der Achse.