Untersuchung von Funktionenscharen mit einem zusätzlichen Parameter.
Erklärung
1. Was ist eine Funktionsschar?
Eine Funktionsschar \( f_k(x) \) ist eine Familie von Funktionen, die neben der Variablen \( x \) noch einen frei wählbaren Formvariable bzw. Parameter \( k \) (mit \( k \in \mathbb{R} \)) enthält. Jeder Wert für \( k \) ergibt einen konkreten Einzelgraphen.
\( f_k(x) = x^2 - k \cdot x \)
Parameter-Einfluss
Der Parameter \( k \) verschiebt, streckt oder staucht die Funktionsgraphen.
Gemeinsame Punkte
Punkte, die für jeden Parameter \( k \) auf dem Graphen liegen (unabhängig von \( k \)).
Ortskurve
Verbindet bestimmte Punkte (z. B. alle Tiefpunkte) aller Schargraphen miteinander.
2. Ortskurve berechnen (Schritt-für-Schritt-Verfahren)
Eine Ortskurve verbindet alle charakteristischen Punkte (z. B. Tiefpunkte, Hochpunkte, Wendepunkte) einer Funktionsschar. Das Prinzip basiert auf dem Eliminieren des Parameters \( k \).
3-Schritte-Schema zur Ortskurve:
- Koordinaten des Punktes berechnen: Drücke die \( x \)- und \( y \)-Koordinate des gesuchten Punktes in Abhängigkeit von \( k \) aus: \( P(x_k \mid y_k) \).
- \( x \)-Gleichung nach \( k \) auflösen: Stelle die Gleichung \( x = x(k) \) nach dem Parameter \( k \) um.
- \( k \) in die \( y \)-Gleichung einsetzen: Ersetze \( k \) in \( y = y(k) \) durch den gefundenen Term für \( x \). Das Ergebnis ist die Funktion der Ortskurve \( g(x) \).
3. Musterbeispiel: Ortskurve der Tiefpunkte
Gegeben: Funktionsschar \( f_k(x) = x^2 - 2k \cdot x + 3 \)
- Tiefpunkte berechnen:
Ableitungen: \( f_k'(x) = 2x - 2k \), \( f_k''(x) = 2 \)
Notwendiges Kriterium: \( f_k'(x) = 0 \implies 2x - 2k = 0 \implies \mathbf{x = k} \)
Hinreichendes Kriterium: \( f_k''(k) = 2 > 0 \implies \) Tiefpunkt existiert.
\( y \)-Wert berechnen: \( f_k(k) = k^2 - 2k \cdot k + 3 = -k^2 + 3 \)
Tiefpunkte: \( \mathbf{TP_k(k \mid -k^2 + 3)} \) - \( x \)-Koordinate nach \( k \) umstellen:
Aus \( x = k \) folgt direkt \( \mathbf{k = x} \). - \( k \) in \( y \)-Koordinate einsetzen:
\( y = -k^2 + 3 \)
\( y = -(x)^2 + 3 \implies \mathbf{g(x) = -x^2 + 3} \)
Ergebnis: Alle Tiefpunkte der Schar liegen auf der Parabel \( g(x) = -x^2 + 3 \).
4. Gemeinsame Punkte einer Funktionsschar
Um Punkte zu finden, durch die alle Schargraphen verlaufen, wählt man zwei beliebige Parameterwerte (z. B. \( k = 0 \) und \( k = 1 \)) und setzt die Funktionsterme gleich:
Beispiel: \( f_k(x) = x^3 - k \cdot x + 2 \)
- Setze zwei Schargraphen gleich: \( f_0(x) = f_1(x) \)
- \( x^3 - 0 \cdot x + 2 = x^3 - 1 \cdot x + 2 \)
- \( x^3 + 2 = x^3 - x + 2 \quad \mid -x^3 - 2 \)
- \( 0 = -x \implies \mathbf{x = 0} \)
- \( y \)-Wert berechnen: \( f_k(0) = 0^3 - k \cdot 0 + 2 = 2 \implies \mathbf{P(0 \mid 2)} \)
Der Punkt \( P(0 \mid 2) \) liegt unabhängig von \( k \) auf jedem Graphen der Schar.