Vollständige Untersuchung von Funktionsgraphen auf ihre charakteristischen Punkte.
Erklärung
1. Charakteristische Punkte eines Funktionsgraphen
Die Kurvendiskussion untersucht die wesentlichen Eigenschaften einer Funktion. Neben Nullstellen stehen vor allem Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) sowie Wendepunkte im Fokus.
Hochpunkt (Maximum)
Waagerechte Tangente.
Graph wechselt von steigend zu fallend.
Tiefpunkt (Minimum)
Waagerechte Tangente.
Graph wechselt von fallend zu steigend.
Wendepunkt
Punkt stärkster Steigung/Krümmungswechsel (von Links- in Rechtskurve oder umgekehrt).
2. Extrempunkte berechnen (Extremwertrechnung)
An Extremstellen hat der Graph eine waagerechte Tangente, die Steigung ist dort also genau Null.
Kriterien für Extremstellen:
- Notwendiges Kriterium: \( f'(x_0) = 0 \) (mögliche Extremstelle)
- Hinreichendes Kriterium (2. Ableitung):
- \( f''(x_0) < 0 \implies \) Hochpunkt (HP)
- \( f''(x_0) > 0 \implies \) Tiefpunkt (TP)
- \( f''(x_0) = 0 \implies \) Keine direkte Aussage möglich (Vorzeichenwechselkriterium prüfen)
3. Wendepunkte berechnen
An einem Wendepunkt ändert sich die Krümmung des Graphen. Die Steigung \( f'(x) \) nimmt dort ein lokales Extremum an.
Kriterien für Wendestellen:
- Notwendiges Kriterium: \( f''(x_0) = 0 \) (mögliche Wendestelle)
- Hinreichendes Kriterium (3. Ableitung):
- \( f'''(x_0) \neq 0 \implies \) Wendepunkt (WP)
4. Vollständiges Beispiel einer Kurvendiskussion
Gegeben: \( f(x) = x^3 - 3x \)
- Ableitungen bilden:
\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)
\( f''(x) = 6x \)
\( f'''(x) = 6 \) - Extrempunkte bestimmen:
Notwendiges Kriterium: \( f'(x) = 0 \)
\( 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, \; x_2 = -1 \)
Hinreichendes Kriterium in \( f''(x) \) einsetzen:
Für \( x_1 = 1 \): \( f''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \implies \mathbf{\text{Tiefpunkt}} \)
\( y \)-Wert: \( f(1) = 1^3 - 3(1) = -2 \implies \mathbf{TP(1 \mid -2)} \)
Für \( x_2 = -1 \): \( f''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \implies \mathbf{\text{Hochpunkt}} \)
\( y \)-Wert: \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = 2 \implies \mathbf{HP(-1 \mid 2)} \) - Wendepunkt bestimmen:
Notwendiges Kriterium: \( f''(x) = 0 \)
\( 6x = 0 \implies x_0 = 0 \)
Hinreichendes Kriterium in \( f'''(x) \) prüfen:
\( f'''(0) = 6 \neq 0 \implies \mathbf{\text{Wendepunkt existiert}} \)
\( y \)-Wert: \( f(0) = 0^3 - 3(0) = 0 \implies \mathbf{WP(0 \mid 0)} \)