Systematisches Lösen von Gleichungssystemen mit mehreren Unbekannten.
Erklärung
1. Was ist ein lineares Gleichungssystem (LGS)?
Ein lineares Gleichungssystem besteht aus mehreren linearen Gleichungen mit mehreren Unbekannten (z. B. \( x, y, z \)). Ziel ist es, Werte für die Unbekannten zu finden, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen.
\( \begin{array}{rcrccrcr} I: & 2x & + & y & - & z & = & 8 \\ II: & -3x & + & 2y & + & 2z & = & -5 \\ III: & x & - & y & + & z & = & 1 \end{array} \)
2. Das Gauß-Verfahren (Stufenform zielgerichtet erreichen)
Das Gauß-Algorithmus verwandelt das Gleichungssystem durch erlaubte Zeilenumformungen schrittweise in eine Dreiecksform (Stufenform). Unterhalb der Hauptdiagonale werden Nullen erzeugt:
\( \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \mid & b_1 \\ \mathbf{0} & a_{22} & a_{23} & \mid & b_2 \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} & a_{33} & \mid & b_3 \end{pmatrix} \)
Erlaubte Zeilenumformungen:
- Vertauschen: Zwei Gleichungen (Zeilen) dürfen gegeneinander vertauscht werden.
- Multiplikation: Eine Zeile darf mit einer Zahl \( \neq 0 \) multipliziert oder dividiert werden.
- Addition/Subtraktion: Ein Vielfaches einer Zeile darf zu einer anderen Zeile addiert oder von ihr subtrahiert werden.
Musterbeispiel für die Stufenform:
Ausgangsmatrix aufstellen:
\( \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & 2 & 2 & -5 \end{array}\right) \)Erste Spalte eliminieren: (Berechne \( II - 2 \cdot I \) und \( III + 3 \cdot I \))
\( \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 6 \\ 0 & -1 & 5 & -2 \end{array}\right) \)Zweite Spalte eliminieren: (Berechne \( 3 \cdot III + II \))
\( \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 6 \\ 0 & 0 & 12 & 0 \end{array}\right) \)- Rückwärts-Einsetzen:
Aus Z3: \( 12z = 0 \implies \mathbf{z = 0} \)
Aus Z2: \( 3y - 3(0) = 6 \implies \mathbf{y = 2} \)
Aus Z1: \( x - 2 + 0 = 1 \implies \mathbf{x = 3} \)
Lösungsmenge: \( L = \{ (3 \mid 2 \mid 0) \} \)
3. Die 3 Lösungsfälle eines LGS
Am Ende des Gauß-Verfahrens liest man an der letzten Zeile ab, wie viele Lösungen existieren:
Eindeutige Lösung
Genau 1 Schnittpunkt
Zeile 3: \( a \cdot z = b \)
(z. B. \( 5z = 10 \))
Keine Lösung
Parallele Geraden/Ebenen
Zeile 3: \( 0 = b \)
(Widerspruch, z. B. \( 0 = 5 \))
Unendlich viele Lösungen
Identische Geraden/Ebenen
Zeile 3: \( 0 = 0 \)
(Allgemeingültig, Parameter wählen)