Hier legen wir das Fundament für die gesamte Analysis: Wir erforschen lineare Funktionen, bringen Graphen auf das Papier und lernen, wie du Steigungen und Schnittpunkte blitzschnell berechnest!
Erklärung
1. Die mathematische Grundgleichung
Jede lineare Funktion beschreibt einen gleichmäßigen Zusammenhang und lässt sich durch folgende Standardform ausdrücken:
\( f(x) = m \cdot x + n \quad \text{bzw.} \quad y = m \cdot x + n \)
Positive Steigung (\( m > 0 \))
Graph steigt von links nach rechts.
\( n \): Y-Achsenabschnitt \( S_y(0 \mid n) \).
Negative Steigung (\( m < 0 \))
Graph fällt von links nach rechts.
\( m \): Steigung (\( \frac{\Delta y}{\Delta x} \)).
Lagebeziehungen
Parallel bei \( m_1 = m_2 \).
Orthogonal bei \( m_1 \cdot m_2 = -1 \).
Bedeutung der Variablen:
- \( x \) (Unabhängige Variable): Eingabewert (z. B. Zeit, Stückzahl).
- \( y \) bzw. \( f(x) \) (Abhängige Variable): Ausgabewert (z. B. Strecke, Gesamtkosten).
- \( m \) (Steigung): Änderung des \( y \)-Wertes, wenn \( x \) um \( 1 \) erhöht wird.
- \( n \) (Y-Achsenabschnitt): Schnittpunkt mit der vertikalen Achse bei \( x = 0 \) (Startwert).
2. Interaktives Funktions-Labor & Steigungsdreieck
Experimentiere mit den Reglern, um die Wirkung von Steigung \( m \) und Achsenabschnitt \( n \) direkt am Koordinatensystem zu sehen:
Funktionsgleichung:
y = 1.5x - 1.0
Y-Achsenabschnitt: \( S_y(0 \mid \) -1.0\() \)
Nullstelle: \( N(\) 0.67 \( \mid 0) \)
3. Wichtige Rechenverfahren
A. Nullstelle bestimmen (\( y = 0 \))
Die Nullstelle ist der Schnittpunkt der Geraden mit der \( x \)-Achse. Setze die Funktion gleich Null:
\( f(x) = 0 \implies m \cdot x + n = 0 \implies x = -\frac{n}{m} \)
B. Funktionsgleichung aus zwei Punkten bestimmen
Gegeben sind zwei Punkte \( P_1(1 \mid 2) \) und \( P_2(3 \mid 8) \):
- Steigung \( m \) berechnen:
\( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{8 - 2}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3 \) - Achsenabschnitt \( n \) berechnen:
Setze \( m = 3 \) und den Punkt \( P_1(1 \mid 2) \) in \( y = m \cdot x + n \) ein:
\( 2 = 3 \cdot 1 + n \implies 2 = 3 + n \implies n = -1 \) - Ergebnis aufstellen:
\( \mathbf{f(x) = 3x - 1} \)
C. Lagebeziehungen zweier Geraden
- Parallel: Gleiche Steigung (\( m_1 = m_2 \)), unterschiedlicher Achsenabschnitt (\( n_1 \neq n_2 \)).
- Identisch: Gleiche Steigung (\( m_1 = m_2 \)) und gleicher Achsenabschnitt (\( n_1 = n_2 \)).
- Orthogonal (senkrecht): Das Produkt der Steigungen ergibt \( -1 \) (\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)).